Đại số ma trận được nghiên cứu và phát triển một cách hệ thống vào năm 1858 bởi Arthur Cayley đem đến nhiều ứng dụng hữu ích. Bài viết dưới đây TTnguyen sẽ chia sẻ kiến thức cơ bản cùng các dạng bài tập ma trận có lời giải chi tiết giúp các bạn ôn tập dễ dàng. Bắt đầu thôi!
1. Ma trận là gì toán cao cấp?
Ma trận là một mảng hai chiều các số được sắp xếp thành các hàng và cột. Mỗi phần tử trong ma trận được định vị bằng một cặp chỉ số, thường là số nguyên không âm, một chỉ số dùng để xác định hàng và một chỉ số khác dùng để xác định cột. Ma trận thường được ký hiệu bằng chữ cái in hoa: A,B,C.Bạn đang xem: Bài tập ma trận có lời giải
Ma trận cỡ m x n là 1 bảng số hình chữ nhật gồm m hàng, n cột.Kí hiệu ma trận : A = (aij) m x n.Ví dụ dưới đây là một ma trận:
Ma trận mxn
Ma trận có nhiều hình dạng khác nhau tuỳ thuộc vào số hàng và cột. Thường thì ma trận với m hàng và n cột thường được gọi là ma trận m x n. Với ma trận có kích thước 1 x n được gọi là ma trận hàng, ma trận có kích thước m x 1 được gọi là ma trận cột. Ma trận cỡ n x n được gọi là ma trận vuông.
Với ma trận A là ma trận 3×4 có aij. Thì ma trận A được biểu thị như sau:
Tóm lại:
Nếu ma trận cỡ m x n, thì nó có m hàng và n cột.Phần tử ma trận aij nghĩa là phần tử nằm ở hàng i cột j.Ma trận cấp 2
Một ma trận cấp 2 là một ma trận có kích thước 2 hàng và 2 cột. Dưới đây là một ví dụ về ma trận cấp 2:
\(\begin{vmatrix}1 & 2\\4 & 5\end{vmatrix}\)Liên quan: trắc nghiệm đại số tuyến tính có đáp án
2. Các dạng ma trận
Ma trận 0
Ma trận 0 là các phần tử đều bằng 0.
Ma trận đường chéo
Ma trận đường chéo là ma trận vuông mà các phần tử ngoài đường chéo chính bằng 0.
Ma trận đơn vị
Ma trận đơn vị là ma trận có các phần tử đường chéo bằng 1.
Ma trận tam giác trên
Ma trận tam giác trên là ma trận vuông mà các phần tử nằm dưới đường chéo chính bằng 0.
Lưu ý: Nếu ma trận có đường chéo chính bằng 0, nó được gọi là ma trận tam giác trên.
Ví dụ:
\(\begin{vmatrix}0 & 2& 3\\0 & 0& 0\\0 & 0& 0\end{vmatrix}\)Ma trận tam giác dưới
Một ma trận tam giác dưới là một ma trận trong đó tất cả các phần tử nằm trên đường chéo chính và trên đường chéo chính đều bằng 0. Các phần tử trên đường chéo chính có thể là 0 hoặc khác 0. Dưới đây là một ví dụ về ma trận tam giác dưới:
\(\begin{vmatrix}1 & 0& 0\\2 & 3& 0\\4 & 5& 6\end{vmatrix}\)Trong ví dụ này, các phần tử nằm trên đường chéo chính và trên đường chéo chính đều bằng 0, và các phần tử còn lại có thể là bất kỳ giá trị nào. Ma trận tam giác dưới có dạng tam giác với các phần tử khác 0 chỉ nằm dưới đường chéo chính.
Ma trận chuyển vị của A
Ma trận bậc thang
Nếu các hàng = 0 thì phải ở dưới cùngNếu các hàng ≠ 0 thì phần tử đầu tiên của hàng dưới phải lệch sang phải phần tử ≠ 0 đầu tiên hàng trên
3. Các tính chất của ma trận
Giả sử A,B,C là các ma trận cùng cỡ, k,t là các số thực bất kỳ. Khi đó:
A+B = B+A(A+B)+C = A+ (B+C)A+0 = 0+A = AA+(-A) = (-A)+A=0k(A+B)=kA+k
B(k+t)A = k
A+t
Ak(t
A) = kt(A)1.A=A0.A=0A(B+C) = AB+AC(A+B)C = AC+BC(k
A)B = A(k
B) = k(AB)AI=IA=A(AB)T = BT.AT
4. Các phép toán ma trận
Các phép toán trên ma trận là quá trình thực hiện các phép tính số học và đại số trên các phần tử của ma trận. Dưới đây là một số phép toán cơ bản trên ma trận:
2 ma trận bằng nhau
Hai ma trận gọi là bằng nhau nếu chúng cùng cỡ (cùng cấp) và các phần tử tƣơng ứng ở cùng vị trí thì bằng nhau
Ví dụ về 2 ma trận bằng nhau là:
Ma trận A:
\(\begin{vmatrix}1 & 2& 3\\4 & 5& 6\\7 & 8& 9\end{vmatrix}\)Ma trận B:
\(\begin{vmatrix}1 & 2& 3\\4 & 5& 6\\7 & 8& 9\end{vmatrix}\)Ma trận A và ma trận B có cùng kích thước là 3 hàng và 3 cột và các phần tử trong cùng vị trí của hai ma trận này đều giống nhau. Do đó, ta có thể nói rằng hai ma trận A và B là bằng nhau.
Cách cộng 2 ma trận
Để cộng hai ma trận cùng kích thước, bạn chỉ cần cộng từng phần tử tương ứng của hai ma trận lại với nhau. Cụ thể, các bước để cộng hai ma trận như sau:
Đảm bảo rằng hai ma trận có cùng kích thước (cùng số hàng và số cột).
Cộng từng phần tử tương ứng của hai ma trận lại với nhau. Điều này có nghĩa là phần tử ở hàng i, cột j của ma trận kết quả sẽ là tổng của phần tử ở hàng i, cột j của ma trận thứ nhất và phần tử ở hàng i, cột j của ma trận thứ hai.
Lưu ý: Không cộng 2 ma trận không cùng cấp
Tính chất:
Với A, B, C là ma trận bất kỳ cùng cỡ thì: A+B = B+A ; A+(B+C) = (A+B)+CMa trận nào cộng với ma trận không cũng bằng chính nó: 0+X=XPhép trừ ma trận: A-B được xác định bởi: A-B=A+(-B)Ví dụ 1: Tính -A, A-B và A+B-C các ma trận sau:
GiảiVí dụ 2: Tìm ma trận X sau:
Giải
Phép trừ 2 ma trận
Để trừ hai ma trận cùng kích thước, bạn cần trừ từng phần tử tương ứng của hai ma trận lại với nhau. Cụ thể, các bước để trừ hai ma trận như sau:
Bước 1: Đảm bảo rằng hai ma trận có cùng kích thước (cùng số hàng và số cột).
Bước 2: Trừ từng phần tử tương ứng của hai ma trận.
Bước 3: Ghi lại kết quả vào ma trận kết quả.
Dưới đây là một ví dụ cụ thể về phép trừ hai ma trận:
Ma trận A:
\(\begin{vmatrix}5 & 8\\3 & 2\end{vmatrix}\)Ma trận B:
\(\begin{vmatrix}2 & 4\\1 & 1\end{vmatrix}\)Bước 1: Xác định hai ma trận có cùng kích thước (2 hàng, 2 cột).
Bước 2: Trừ từng phần tử tương ứng của hai ma trận:
5 – 2 = 3; 8 – 4 = 43 – 1 = 2; 2 – 1 = 1
Ma trận kết quả:
\(\begin{vmatrix}3 & 4\\2 & 1\end{vmatrix}\)Cách nhân 2 ma trận
Điều kiện để nhân 2 ma trậnĐể nhân hai ma trận, ta phải đảm bảo một số điều kiện:
Số cột của ma trận đầu tiên phải bằng số hàng của ma trận thứ hai. Nếu ma trận đầu tiên có kích thước m x n (m hàng và n cột), thì ma trận thứ hai phải có kích thước n x p (n hàng và p cột).Kết quả của phép nhân hai ma trận sẽ là một ma trận mới có kích thước m x p (m hàng và p cột).Ma trận nhân với 1 sốNếu A là một ma trận bất kỳ và k là một số bất kỳ thì ma trận k
A được tính bằng cách nhân từng phần tử của ma trận A với k
Ví dụ nhân ma trận với 1 số:
Lưu ý:
Nếu A là một ma trận bất kỳ, thì ma trận k
A có kích cỡ giống A và: 0A=0 ; k0=0
Muốn nhân ma trận A với ma trận B thì phải có điều kiện:
số cột ma trận A bằng số hàng ma trận BLấy phần tử đứng ở hàng i cột j trong ma trận A, ta lấy lần lượt từng phần tử đứng ở hàng i trong ma trận A nhân vớitừng phần tử tương ứng đứng ở cột j trong ma trận B rồi cộng lại.
Ví dụ:
1.1+1.3 = 4 1.2+1.4=6 1.3+1.4=7
3.1+7.3=24 3.2+7.4=34 3.3+7.4=37
Bài tập nhân 2 ma trận
Cách nhân ma trận 2×2
\(\begin{vmatrix}4 & 5\\6 & 7\end{vmatrix}.\begin{vmatrix}2 & 1\\2 & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}4*2+5*2 & 4*1+5*1\\6*2+7*2 & 6*1+7*1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}18 & 9\\26 & 13\end{vmatrix}\)Nhân 2 ma trận 3×3
\(\left(\begin{matrix}4 & 5 & 5 \\6 & 7 & 3 \\6 & 2 & 1\end{matrix}\right).\left(\begin{matrix}2 & 1 & 4 \\2 & 1 & 2 \\6 & 2 & 1\end{matrix}\right)\)
Cách nhân ma trận 4×4
\(\left(\begin{matrix}4 & 5 & 5 & 3 \\6 & 7 & 3 & 1 \\6 & 2 & 1 & 6 \\9 & 7 & 2 & 1\end{matrix}\right).\left(\begin{matrix}2 & 1 & 4 & 1 \\2 & 1 & 2 & 4 \\6 & 2 & 1 & 2 \\8 & 5 & 1 & 4\end{matrix}\right)\)
Cách nhân 3 ma trận
Để nhân ba ma trận, ta áp dụng phép nhân ma trận theo thứ tự. Khi nhân nhiều ma trận, ta có một số quy tắc cần tuân theo:
Đảm bảo rằng số cột của ma trận đứng trước bằng số hàng của ma trận đứng sau.Nhân hai ma trận theo thứ tự và ghi lại kết quả.Tiếp tục nhân kết quả của hai ma trận với ma trận tiếp theo và lặp lại quy trình như vậy cho tới khi nhân hết tất cả các ma trận.Dưới đây là một ví dụ cụ thể về phép nhân ba ma trận:
Ma trận A:
\(\begin{vmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{vmatrix}\)\(\begin{vmatrix}5 & 6\\7 & 8\end{vmatrix}\)\(\begin{vmatrix}9 & 10\\11 & 12\end{vmatrix}\)Ma trận A.B:
\(\begin{vmatrix}19 & 22\\43 & 50\end{vmatrix}\)Ma trận AB.C:
\(\begin{vmatrix}377 & 430\\901 & 1030\end{vmatrix}\)Các dạng bài tập ma trận và cách giải
1.Tìm ma trận x thoả mãn:
a/
b/
c/ Tìm a thoả mãn:
d/Tìm a thoả mãn ma trận
2. Chứng minh ma trận
3. So sánh ma trận AB,BA
Để so sánh hai ma trận AB và BA, ta cần tính toán kết quả của phép nhân hai ma trận đó.
Ma trận AB:
\(\begin{vmatrix}1*4+2*2 & 1*3+2*1\\3*4+4*2 & 3*3+4*1\end{vmatrix}\)= \(\begin{vmatrix}8 & 5\\20 & 13\end{vmatrix}\)
Ma trận BA:
\(\begin{vmatrix}4*1+3*3 & 4*2+3*4\\2*1+1*3 & 2*2+1*4\end{vmatrix}\)= \(\begin{vmatrix}13& 20\\5 & 8\end{vmatrix}\)
Kết quả cho thấy AB và BA không bằng nhau.
3. Bài tập ma trận bậc thang có lời giải
Ví dụ: Đưa ma trận sau về ma trận bậc thang:
Download bài tập ma trận có lời giải PDF ✓ Các dạng bài tập ma trận và cách giải ✓ Bài tập toán ma trận có lời giải PDF ✓ Các bài tập về ma trận và định thức ✓ Bài tập tính ma trận có lời giải ✓ Bài tập ma trận nghịch đảo, nhân 2 ma trận có lời giải ✓ Bài tập tìm hạng của ma trận có lời giải ✓ File PDF ✓ Tải xuống miễn phí bài tập về ma trận có lời giải link Google Drive.
File tài liệu tổng hợp các dạng bài tập ma trận có đáp án và lời giải chi tiết, các bài tập về ma trận và định thức, bài tập tìm hạng của ma trận, bài tập toán cao cấp ma trận (ma trận toán cao cấp 1, 2), bài tập ma trận nghịch đảo, nhân 2 ma trận, bài tập lũy thừa ma trận.... gồm có bài tập tự luận, trắc nghiệm được soạn sẵn file PDF.
Bài tập toán ma trận có lời giải giúp sinh viên có thêm tài liệu tham khảo, ôn tập củng cố kiến thức đã được học, giúp các bạn chuẩn bị tốt cho kỳ thi kết thúc học phần, thi cuối kỳ sắp đến.
Xem thêm: Top Những Bài Hát Về Tình Bạn Hay Và Ý Nghĩa Nhất Về Tình Bạn
XEM TRƯỚC 5 TRANG
TẢI FULL TÀI LIỆU
Trên đây là bài tập ma trận có lời giải chi tiết Viec
Lam
Vui - chuyên trang tìm việc nhanh miễn phí - gửi đến bạn. Hy vọng tài liệu trên hữu ích và có thể hỗ trợ tốt cho công việc của bạn.
#Viec
Lam
Vui
Bạn có thể đăng tin tuyển dụng miễn phí, tìm việc làm miễn phí các vị trí công việc Việc làm Giáo dục, Đào tạo. Bài viết thuộc danh mục Blog Việc làm Giáo dục, Đào tạo, Tài liệu, Bài tập trên Viec
Lam
Vui
Đánh giá Bài tập ma trận có lời giải PDF
{average} điểm/{total} đánh giá Đánh giá để chúng tôi có những thông tin hữu ích hơn cho bạn
Chia sẻ lên mạng xã hội để tạo tín hiệu tốt cho bài viết của bạn
Me
We
Word
Press
Blogger
Tumblr
Mix
Diigo
Trello
Vkontakte
HTML source
Blog liên quan
Danh mục
Mẫu Văn Bản Kỹ Năng Nghề Nghiệp 1001 Ngành Nghề Tài liệu
Blog mới
Blog cập nhật
Nội dung HOT
Thương Mại Điện Tử 1000 Từ Word Form Việc Làm Tại Nhà Hồ Sơ Xin Việc Mẫu Bìa Word Đẹp Mẫu Sơ Yếu Lý Lịch Mẫu đơn đề nghị hưởng trợ cấp thất nghiệp
mamnongautruc.edu.vn
ACADEMY
CÔNG CỤ
Kết nối với Viec
Lam
Vui.com
Chứng nhận bởi
VIỆC LÀM THEO NGÀNH NGHỀ
VIỆC LÀM CÔNG TY
VIỆC LÀM TẠI TỈNH THÀNH
VIỆC LÀM HẤP DẪN
Trung Tâm Việc Làm Vui Academy, Tìm Việc làm Nhanh 24h, Đăng Tuyển dụng miễn phí - Chi nhánh công ty MBN
Viec
Lam
Vui là dự án giữa MBN và Cổng Tri Thức Thánh Gióng Trung Ương Hội Liên Hiệp Thanh Niên
Không cần làm hồ sơ CV trên máy tính. Click chọn điền thông tin bằng điện thoại. Chat Nhanh có việc ngay
Hệ thống mạng xã hội Mua
Ban
Nhanh - Viec
Lam
Vui Mua
Ban
Nhanh Nhà Đất Dịch Vụ Xe Blog Việc làm Vui Kinh doanh
Đối tác Hoc
Hay.com - Học tiếng Anh, Học Anh văn online, Luyện thi
Đối tác Công ty In ấn Tuyển dụng và Đào tao nghề miễn phí thường xuyên: Công ty In Kỹ Thuật Số since 2006, Ngành thiết kế, kế toán, lao động phổ thông...